simplifications des fonctions logiques

But: La recherche de l'expression logique la plus simple doit permettre d'obtenir la réalisation matérielle la plus simple.

Différentes méthodes peuvent être utilisées:

Simplification algébrique

Principe:

2 produits de variables qui diffèrent par une seule variable , niée dans l'un (/x) et affirmée dans l'autre (x) sont dits adjacents.

2 produits adjacents peuvent se simplifier pour donner un seul produit réduit:

 

En recherchant systématiquement les adjacences à partir du produit canonique on peut réduire certains termes à n-1 variables, puis n-2, ......On arrive ainsi à des produits qui ne sont adjacents à aucun autre (produits premiers). La fonction logique est égale à la somme de ces produits premiers:

 

On peut trouver de manière systématique ces produits premiers par l'algorithme de Quine-MacCluskey, où par la méthode graphique des tableaux de Karnaugh

Tableaux de Karnaugh

On remplace la table de vérité par un tableau à double entrée. Chaque case du tableau correspond à une combinaison des variables. Ces combinaisons sont placées dans l'ordre du codage binaire réflèchi afin que les produits adjacents se trouvent dans des cases voisines (ou dans les cases extrèmes). Il faut alors faire les groupements maximum de 1, 2, 4, 8.. cases voisines pour trouver les différents termes de la fonction simplifiée.

A une case correspond un produit de n variables, à 2 cases voisines un produit de n-1 variables, à 4 cases voisines un produit de n-2 variables, etc...

Exemple d'une fonction de 4 variables:

Exemple d'une fonction de 5 variables:

Exercices

 1.A l'aide des tableaux de Karnaugh trouver les expressions logiques les plus simples des fonctions de 4 variables données par leur support:

Sf1 = {0010,0011,0101,0111,1000,1100,1110}

ou plus simplement Sf1 = {2,3,5,7,8,12,14}

Sf2 = {0,4,6,7,10,12,13,14}

Sf3 = {0,1,2,3,4,6,8,9,10,11}

(le support d'une fonction logique est l'ensemble des combinaisons des variables pour lesquelles la fonction prend la valeur 1)

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2.Soit un nombre N tel que 0 £ N £ 9 codé en DCB. Trouver la fonction logique f telle que:

f = 0 si N>5

f = 1 si N £ 5

vous pouvez voir une solution et la simuler si vous avez le logiciel SIMULAT

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3.A l'aide des tableaux de Karnaugh trouver les expressions logiques les plus simples des fonctions de 4 variables données par leur support:

Sf = {2,5,6,9,13,14} È {0,7,8,10,15}

Sg = {0,5,9,10,12,15} È {2,7,8,13}

Sh = {2,6,7,8,10} È {0,12,13,15}

La deuxième partie du support correspond à des combinaisons de variables pour lesquelles la fonction prend une valeur au choix 0 ou 1.

4.A l'aide d'un tableau de Karnaugh trouver l'expression logique la plus simple de la fonction de 5 variables:

Sf = {3,5,8,9,10,12,13,14,19,23,25,26,27,28,31}

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5. Dans une horloge numérique les heures sont codées en binaire naturel par X = x₄ x₃ x₂ x₁ x₀

On veut obtenir un signal S = 1 lorsque X = 8, 12, 14, 18 heures pour commander une sonnerie.

Donner l'expression logique la plus simple de S( x₄ , x₃ , x₂ , x₁ , x₀ ) et donner un logigramme utilisant des "NOR" à 2 entrées

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6. Transcodeur Aïken vers BCD

	Code Aïken				Code BCD
	A3	A2	A1	A0	D3	D2	D1	D0
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	0	1
2	0	0	1	0	0	0	1	0
3	0	0	1	1	0	0	1	1
4	0	1	0	0	0	1	0	0
5	1	0	1	1	0	1	0	1
6	1	1	0	0	0	1	1	0
7	1	1	0	1	0	1	1	1
8	1	1	1	0	1	0	0	0
9	1	1	1	1	1	0	0	1

 Donner les fonctions logiques Di (A3, A2, A1, A0) et donner un logigramme utilisant des "NAND"

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6. Transcodeur DCB vers 7 segments

 

Le segment a s'allume si s₀=0, s'éteint sinon (idem pour les autres segments). On cherche le schéma interne du composant X qui permet d'afficher le chiffre correspondant au nombre binaire disponible en entrée (e₀ bit de poids faible).

Faire une table de vérité, donnant l'état des 7 sorties s_i pour les 16 combinaisons possibles des 4 entrées e_i. Puis rechercher l'équation simplifiée de chaque sortie en fonction des entrées.

Donner un logigramme avec des "NAND"